如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(...
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如图1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)判断△ABC形状,并说明理由.
(2)在抛物线第四象限上有一点,它关于x轴的对称点记为点P,点M是直线BC上的一动点,当△PBC的面积最大时,求PM+MC的最小值;
(3)如图2,点K为抛物线的顶点,点D在抛物线对称轴上且纵坐标为,对称轴右侧的抛物线上有一动点E,过点E作EH∥CK,交对称轴于点H,延长HE至点F,使得EF=,在平面内找一点Q,使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形,且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴,请问是否存在这样的点Q,若存在请直接写出点E的横坐标,若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)结论:△ABC是直角三角形.理由如下,
对于抛物线 y=x2﹣x﹣,令y=0得 x2﹣x﹣=0,解得x=﹣或3;令x=0得y=﹣,
∴A(﹣,0),C(0,﹣),B(3,0),
∴OA=,OC=,OB=3,
∴==,∵∠AOC=∠BOC,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ACO=∠OBC,
∵∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACB=90°.
(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理*).
(2)如图1中,设第四象限抛物线上一点N(m, m2﹣m﹣),点N关于x轴的对称点P(m,﹣m2+m+),作过B、C分别作y轴,x轴的平行线交于点G,连接PG.
∵G(3,﹣),
∴S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG=××(﹣m2+m+2)+ו(3﹣m)﹣××=﹣(m﹣)2+.
∵﹣<0,
∴当m=时,△PBC的面积最大,
此时P(,),
如图2中,作ME⊥CG于M.
∵CG∥OB,
∴∠OBC=∠ECM,∵∠BOC=∠CEM,
∴△CEM∽△BOC,
∵OC:OB:BC=1:3:,
∴EM:CE:CM=1:3:,
∴EM=CM,
∴PM+CM=PM+ME,
∴根据垂线段最短可知,当PE⊥CG时,PM+ME最短,
∴PM+MC的最小值为+=.
(3)存在.理由如下,
①如图3中,当DH=HF,HQ平分∠DHF时,以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形,且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴.
作CG⊥HK于G,PH∥x轴,EP⊥PH于P.
∵FH∥CK,K(,﹣),
易知CG:GK:CK=3:4:5,
由△EPH∽△KGC,得PH:PE:EH=3:4:5,设E((n, n2﹣n﹣),则HE=(n﹣),PE=(n﹣),
∵DH=HF,
∴+[﹣n2+n+﹣(n﹣)]=(n﹣)+,
解得n=或(舍弃).
②如图4中,当DH=HF,HQ平分∠DHF时,以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形,且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴.
同法可得[n2﹣n﹣+(n﹣)]﹣=(n﹣)+,
解得n=+或﹣(舍弃).
③如图5中,当DH=DF,DQ平分∠HDF时,以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形,且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴.
设DQ交HF于M.由△DHM∽△CKG,可知HM:DH=4:5,
[(n﹣)+]:[n2﹣n﹣+(n﹣)﹣]=4:5,
解得n=+或=﹣(舍弃),
④如图6中,当FQ平分∠DFH时,满足条件,此时=.
∴5× [n2﹣n﹣﹣+(n﹣)]=4[(n﹣)+],
解得:n=或(舍弃)
综上所,满足条件的点E的横坐标为或+或+或.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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