如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B...
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如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(-2,0),C(6,0). (1)直接写出抛物线的解析式及其对称轴; (2)如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P作PD⊥AC于点E,交x轴于点D,过点P作PG∥AB交AC于点F,交x轴于点G.设线段DG的长为d,求d与m的函数关系式,并注明m的取值范围; (3)在(2)的条件下,若△PDG的面积为, ①求点P的坐标; ②设M为直线AP上一动点,连接OM交直线AC于点S,则点M在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M及其对应的点R的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵抛物线与x轴交于点B(-2,0),C(6,0) ∴设交点式y=a(x+2)(x-6) ∵抛物线过点A(0,6) ∴-12a=6 ∴a=- ∴抛物线解析式为y=-(x+2)(x-6)=-x2+2x+6=-(x-2)2+8 ∴抛物线对称轴为直线x=2. (2)过点P作PH⊥x轴于点H,如图1 ∴∠PHD=90° ∵点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧 ∴2<m<6,PH=n=-m2+2m+6,n>0 ∵OA=OC=6,∠AOC=90° ∴∠ACO=45° ∵PD⊥AC于点E ∴∠CED=90° ∴∠CDE=90°-∠ACO=45° ∴DH=PH=n ∵PG∥AB ∴∠PGH=∠ABO ∴△PGH∽△ABO ∴ ∴GH=n ∴d=DH-GH=n-n=n=(-m2+2m+6)=-m2+m+4(2<m<6) (3)①∵S△PDG=DG•PH= ∴n•n= 解得:n1=,n2=-(舍去) ∴-m2+2m+6= 解得:m1=-1(舍去),m2=5 ∴点P坐标为(5,) ②在抛物线上存在点R,使得△ARS为等腰直角三角形. 设直线AP解析式为y=kx+6 把点P代入得:5k+6= ∴k=- ∴直线AP:y=-x+6 i)若∠RAS=90°,如图2 ∵直线AC解析式为y=-x+6 ∴直线AR解析式为y=x+6 解得:(即点A) ∴R(2,8) ∵∠ASR=∠OAC=45° ∴RS∥y轴 ∴xS=xR=2 ∴S(2,4) ∴直线OM:y=2x ∵ 解得: ∴M(,)ii)若∠ASR=90°,如图3 ∴∠SAR=∠ACO=45° ∴AR∥x轴 ∴R(4,6) ∵S在AR的垂直平分线上 ∴S(2,4) ∴M(,) iii)若∠ARS=90°,如图4, ∴∠SAR=∠ACO=45°,RS∥y轴 ∴AR∥x轴 ∴R(4,6) ∴S(4,2) ∴直线OM:y=x ∵ 解得: ∴M(6,3) 综上所述,M1(,),R1(2,8);M2(,),R2(4,6);M3(6,3),R3(4,6). 【解析】
(1)已知抛物线与x轴交点B、C,故可设交点式,再把点A代入即求得抛物线解析式.用*法或公式求得对称轴. (2)过点P作PH⊥x轴于点H,由PD⊥AD于点E易*∠PDH=45°,故DH=PH=n.由PG∥AB易*△PGH∽△ABO,利用对应边成比例可得GH=n,把含m的式子代入d=DH-GH即得到d与m的函数关系式,再由点P的位置确定2<m<6. (3)①用n表示DG、PH,代入S△PDG=DG•PH=,求得n的值(舍去负值),再利用n=-m2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标. ②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°,故AR与y轴夹角为45°或90°.由于不确定△ARS哪个为直角顶点,故需分3种情况讨论,画出图形,利用45°或90°来确定点R、S的位置,进而求点R、S坐标,再由S的坐标求直线OM解析式,把直线OM与直线AP解析式联立方程组,解得点M坐标. 本题考查了二次函数的图象与*质,等腰直角三角形的*质,相似三角形的判定和*质,一元二次方程的解法,一次函数的图象与*质,二元一次方程组的解法.第(3)题②要充分利用等腰直角三角形的*质和直线AC与y轴夹角为45°来解题,画出图形进行分类讨论,先确定点R、S的位置并计算坐标,再求直线OM解析式与AP联立求M.
知识点:各地中考
题型:综合题
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