如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y＝px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y＝3x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB＝MB′，

∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y＝x+3，

当x＝0时，y＝x+3＝3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y＝3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，

把C（0，3）代入得b＝3，

∴直线PC的解析式为y＝﹣x+3，

解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得+b＝0，解得b＝﹣，

∴直线PC的解析式为y＝﹣x﹣，

解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），

综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题