在平面直角坐标系XOY中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点...

问题详情：

在平面直角坐标系XOY中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，

∴，解得，

∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；

（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，

∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴AC=5，BC=4，AB=7．

∵BD=BC，

∴AD=AB﹣BD=7﹣4，

∵CD垂直平分PQ，

∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．

∵BD=BC，

∴∠DCB=∠CDB．

∴∠CDQ=∠DCB．

∴DQ∥BC．

∴△ADQ∽△ABC．

∴=，

∴=，

∴=，

解得DP=4﹣，

∴AP=AD+DP=．

∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为；

（3）如图2，设抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x=对称，连接BQ交该对称轴于点M．

则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，

∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，

∴tan∠EBM=tan∠ACO=，∴=，∴=，解ME=．

∴M（，），即在抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最小．

知识点：函数的应用

题型：解答题