（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y...

问题详情：

（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣，

∴y＝（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

当x＝4时，y＝．

∴E（4，）．

设直线AE的解析式为y＝kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，

解得：k＝，b＝．

∴直线AE的解析式为y＝x+．

（2）设直线CE的解析式为y＝mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣＝，解得：m＝．

∴直线CE的解析式为y＝x﹣．

过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），

则FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2+x．

∴△EPC的面积＝×（x2+x）×4＝﹣x2+x．

∴当x＝2时，△EPC的面积最大．

∴P（2，﹣）．

如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，

∴k（，﹣）．

∴tan∠KCP＝．

∵OD＝1，OC＝，

∴tan∠OCD＝．

∴∠OCD＝∠KCP＝30°．

∴∠KCD＝30°．

∵k是BC的中点，∠OCB＝60°，

∴OC＝CK．

∴点O与点K关于CD对称．

∴点G与点O重合．

∴点G（0，0）．

∵点H与点K关于CP对称，

∴点H的坐标为（，﹣）．

∴KM+MN+NK＝MH+MN+GN．

当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH．

∴GH＝＝3．

∴KM+MN+NK的最小值为3．

（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，

∴点F（3，﹣）．

∵点G为CE的中点，

∴G（2，）．

∴FG＝＝．

∴当FG＝FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．

当GF＝GQ时，点F与点Q″关于y＝对称，

∴点Q″（3，2）．

当QG＝QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．

由两点间的距离公式可知：a+＝，解得：a＝﹣．

∴点Q1的坐标为（3，﹣）．

综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题