如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+c...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，

∴，解得b=2，c=3．

∴y=﹣x2+2x+3．

设直线AB的解析式为y=kx+n，将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=﹣1，n=3，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+3．

（2）由题意得：OE=t，AF=t，

∴AE=OA﹣OE=3﹣t．

∵OA=OB，∠BOA=90°，

∴∠BAO=45°．

∵△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，

∴∠AEF=90°，或∠AFE=90°．

当∠AEF=90°时， =cos45°，即=，解得：t=；

当∠AFE=90°时， =cos45°，即=，解得：t=1．

综上所述可知当t=1或t=时，△AEF为等腰直角三角形．

（3）存在．

如图所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交AB与点D．

设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D（a，﹣a+3），PD=﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）=﹣a2+3a=﹣（a﹣）2+．

∴当a=时，PD有最大值，即△ABP的面积有最大值，PD的最大值为

∴P（，）．

∵△ABP的面积=DP•（xA﹣xB）=×3×=．

∴△ABP的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题