如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A，抛...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A，抛物线的顶点为D.

(1)填空：点A的坐标为(____，____)，点B的坐标为(____，____)，点C的坐标为(____，____)，点D的坐标为(____，____)；

(2)点P是线段BC上的动点(点P不与点B、C重合)．

①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；

②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；

③若点Q是线段AB上动点(点Q不与点A、B重合)，点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合)，请直接写出△PQR周长的最小值．

【回答】

解：(1)0，2，－3，0，1，0，－1，；

【解法提示】∵抛物线y＝ －x2－x＋2与x轴交于B、C两点，

∴－x2－x＋2＝0，

解得x1＝－3，x2＝1，

∵点B在点C的左侧，

∴B(－3，0)，C(1，0)，

∵抛物线与y轴交于点A，∴当x＝0时，y＝2，

∴A(0，2)，

∵－＝－＝－1，

∴当x＝－1时，y＝－×(－1)2－×(－1)＋2＝，

∴顶点D的坐标为(－1，)．

(2)①设点P的坐标为(n，0)(－3＜n＜1)，

∵EP⊥x轴，点E在抛物线上，

∴点E的坐标为(n, －n2－n＋2)，

又∵PE＝PC，

∴－n2－n＋2＝1－n，

解得n1＝－，n2＝1(不符合题意，舍去)，

∴当n＝－时，1－n＝，

∴E(－，)；

②或.

【解法提示】如解图①，设直线DE与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线EA与x轴交于点K，

第10题解图①

根据点E、D的坐标求得直线ED的解析式为y＝x＋3，根据点E、A的坐标求得直线EA的解析式为y＝－x＋2，

∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，

∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，

根据等腰三角形的*质可知，EF的长是E点到坐标轴的距离，

∴EF＝或.

③.

【解法提示】如解图②，作点O关于AB的对称点E，作点O关于AC的对称点F，连接EF交AB于点Q，交AC于点R，过E作EM⊥x轴于M，过F作FN⊥x轴于N，

第10题解图②

此时△PQR的周长为PQ＋QR＋PR＝EF，周长最小，

∵A(0，2)，B(－3，0)，C(1，0)，

∴AB＝＝，AC＝＝，

∵S△AOB＝×OE·AB＝OA·OB，

∴OE＝，

∵△OEM∽△ABO，

∴＝＝，

即＝＝，

∴OM＝，EM＝，

∴E(－，)，

同理可求得F(，)，

∴△PQR周长的最小值为EF＝＝.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题