如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(﹣1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=﹣x...
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如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(﹣1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的AB两点,且CD=4AC.
(1)求直线l和抛物线的解析式;
(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,求当△ADE面积最大时,点E的坐标;
(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,四边形APDQ能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)将A(﹣1,0)代入y=﹣x2+bx+3,得b=2,
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
过点D作DF⊥x轴于点F,如图1
易*△AOC∽△AFD,
∴,
∵CD=4AC,
∴=,
∴点D横坐标为4,
把x=4代入y=﹣x2+2x+3,得y=﹣5,
∴D(4,﹣5),
把x=4,y=﹣5;x=﹣1,y=0代入y=kx+h,
解得,k=﹣1,h=﹣1,
∴直线l的解析式为y=﹣x﹣1.
(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,如图2
设点E(m,﹣m2+2m+3),则M(m,﹣m﹣1),
∴EM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m﹣1)═﹣m2+3m+4,
∴S△ADE=(﹣m2+3m+4)=,
当m=时,△ADE的面积最大,
此时,E(,).
(3)不存在
理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
设P(1,m),
①若AD是平行四边形ADPQ的一条边,如图3
则易得Q(﹣4,﹣21),
m=﹣21﹣5=﹣26,则P(1,﹣26),
此时AQ2=32+212=450,QP2=52+52=50,AP2=22+262=680,
∴AQ2+QP2≠AP2,
∴∠AQP≠90°,
此时平行四边形ADPQ不是矩形;
②若AD是平行四边形APDQ的对角线,如图4
则易得Q(2,3),
m=﹣5a﹣3=﹣8,则P(1,﹣8),
PQ2=12+112=122,PD2=32+32=18QD2=22+82=68,
∴PD2+QD2≠PQ2,
∴∠PDQ≠90°,
此时平行四边形ADPQ不是矩形,
综上所述,四边形APDQ不能为矩形.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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