如图,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC与x轴交于点C,且点C与...

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如图,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC与x轴交于点C,且点C与点A关于y轴对称.

(1)求直线BC的解析式；

(2)点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点,BQ=AP,连接PQ,设点P的横坐标为t,△PBQ的面积为S(),求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当S取最大值时，若点M是平面内的一点,在直线AB上是否存在点N，使得以点P,Q,M,N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写岀符合条件的点 N坐标;若不存在，清说明理由.

【回答】

解：（1）∵，当y =0时，x=－4；当x=0时，y=3，

∴A（－4，0），B（0，3）. …………………………………………2分

∵点C与点A关于y轴对称，

 ∴C（4，0）. ………………………………………………………… 3分

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将B（0，3），C（4，0）代入，得{解得

∴直线BC的解析式. …………………………………… 4分

2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥OB于点F．

∵OA=OC=4，OB=3，

∴AC=8，. …………………… 5分

∴.即 .

∴ . ……………………………………………… 6分

∵点P在直线上，

∴设P( ).

∴PF=-t，cos∠BPF=cos∠BAO.即 .

∴. ……………………………………………………………… 7分

∵，

∴ ……………………… 8分

∵AP=BQ，

∴. ………………………………………………… 9分

∴ .

 即. ………………………………………………………… 10分

（3）在直线 AB 上存在点 N，使得以点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是菱形，点 N 坐标为（0，3）或()或( )或( ) . …………14分

知识点：课题学习 选择方案

题型：解答题