如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；

（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．

（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，

可得a＝﹣，b＝，

∴y＝﹣x2+x+2；

∴对称轴x＝1；

（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，

设点D（1，y），

∵C（0，2），B（3，0），

∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，

∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，

在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，

∴CD＝BD，

∴CD2＝BD2，

∴（2﹣y）2+1＝4+y2，

∴y＝，

∴D（1，）；

（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，

∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，

∴四边形QRPE是矩形，

∵S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，

∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），

∴S△CEF＝EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP，

∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣x（y﹣2）﹣×1×1﹣（x﹣1）（y﹣1），

∵y＝﹣x2+x+2，

∴S△CEF＝﹣x2+x，

∴当x＝时，面积有最大值是，

此时E（，）；

（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

设N（1，n），M（x，y），

①四边形CMNB是平行四边形时，

＝，

∴x＝﹣2，

∴M（﹣2，﹣）；

②四边形CNBM时平行四边形时，

＝，

∴x＝2，

∴M（2，2）；

③四边形CNNB时平行四边形时，

＝，

∴x＝4，

∴M（4，﹣）；

综上所述：M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；

知识点：各地中考

题型：综合题