如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）...

问题详情：

如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；

（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）

∴   解得：

∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3

（2）①若点P在x轴下方，如图1，

延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I

∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴B（﹣3，0）

∵A（1，0），C（0，﹣3）

∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4

∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝，cos∠ACO＝

∵AB＝AH，G为BH中点

∴AG⊥BH，BG＝GH

∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG

∵∠PAB＝2∠ACO

∴∠BAG＝∠ACO

∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝

∴BG＝AB＝

∴BH＝2BG＝

∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°

∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO

∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝，cos∠HBI＝

∴HI＝BH＝，BI＝BH＝

∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣）

设直线AH解析式为y＝kx+a

∴   解得：

∴直线AH：y＝x﹣

∵   解得：（即点A），

∴P（﹣，﹣）

②若点P在x轴上方，如图2，

在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称

∴H'（﹣，）

设直线AH'解析式为y＝k'x+a'

∴   解得：

∴直线AH'：y＝﹣x+

∵   解得：（即点A），

∴P（﹣，）

综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．

（3）DM+DN为定值

∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1

∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1

设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）

设直线AQ解析式为y＝dx+e

∴   解得：

∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3

当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6

∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6

设直线BQ解析式为y＝mx+n

∴  解得：

∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3

当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2

∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2

∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．

知识点：各地中考

题型：综合题