如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．...

问题详情：

如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c，

得方程组

解得：

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3            

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，

若△ABO∽△AP1D，则

∴DP1＝AD＝4，

∴P1（﹣1，4）

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD＝4，

∵△ABO为等腰三角形，

∴△ADP2是等腰三角形，

由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，

∴P2（1，2）

综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；

（3）不存在．

理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE＝

①当P1（﹣1，4）时，

S四边形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y|

∴2|y|＝4+|y|，

∴|y|＝4

∵点E在x轴下方，

∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，

∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0

∴此方程无解

②当P2（1，2）时，

S四边形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，

∴2|y|＝2+|y|，

∴|y|＝2

∵点E在x轴下方，

∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，

∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．

【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的*质分别求解，避免遗漏；

（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．

知识点：相似三角形

题型：综合题