已知，如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．（1）求抛...

问题详情：

已知，如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，点P是抛物线第一象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M（点M在第二象限），连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ＝45°时，求t值．

【回答】

【解答】解：（1）如图1，当x＝0时，y＝3，

∴A（0，3），

∴OA＝OC＝3，

∵BC＝4，

∴OB＝1，

∴B（﹣1，0），C（3，0），

把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3中得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图2，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），

过P作PG⊥x轴于G，

∵OQ∥PG，

∴△BOQ∽△BGP，

∴，

∴，

∴d＝＝﹣t+3（0＜t＜3）；

（3）如图3，连接AN，延长PN交x轴于G，

由（2）知：OQ＝3﹣t，OA＝3，

∴AQ＝OA﹣OQ＝3﹣（3﹣t）＝t，

∴QN＝OG＝AQ＝t，

∴△AQN是等腰直角三角形，

∴∠QAN＝45°，AN＝t，

∵PG∥OK，

∴，

∴，

OK＝3t+3，

AK＝3t，

∵∠QAN＝∠NKQ+∠ANK，

∴∠NKQ+∠ANK＝45°，

∵∠MCN+∠NKQ＝45°，

∴∠ANK＝∠MCN，

∵NG＝CG＝3﹣t，

∴△NGC是等腰直角三角形，

∴NC＝（3﹣t），∠GNC＝45°，

∴∠CNH＝∠NCM+∠NMC＝45°，

∴∠NKQ＝∠NMC，

∴△AKN∽△NMC，

∴，

∵AQ＝QN＝t，AM＝PQ，

∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），

∴MQ＝PN＝﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，

∴，

t2﹣7t+9＝0，

t1＝＞3，t2＝，

∵0＜t＜3，

∴t1＞3，不符合题意，舍去，

∴t＝．

知识点：相似三角形

题型：综合题