综合与探究如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和B...
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综合与探究
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为 .
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;
(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)∵OA=2,OC=6
∴A(﹣2,0),C(0,﹣6)
∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C
∴ 解得:
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣6
(2)∵当y=0时,x2﹣x﹣6=0,解得:x1=﹣2,x2=3
∴B(3,0),抛物线对称轴为直线x=
∵点D在直线x=上,点A、B关于直线x=对称
∴xD=,AD=BD
∴当点B、D、C在同一直线上时,C△ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小
设直线BC解析式为y=kx﹣6
∴3k﹣6=0,解得:k=2
∴直线BC:y=2x﹣6
∴yD=2×﹣6=﹣5
∴D(,﹣5)
故*为:(,﹣5)
(3)过点E作EG⊥x轴于点G,交直线BC与点F
设E(t,t2﹣t﹣6)(0<t<3),则F(t,2t﹣6)
∴EF=2t﹣6﹣(t2﹣t﹣6)=﹣t2+3t
∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF•BG+EF•OG=EF(BG+OG)=EF•OB=×3(﹣t2+3t)=﹣(t﹣)2+
∴当t=时,△BCE面积最大
∴yE=()2﹣﹣6=﹣
∴点E坐标为(,﹣)时,△BCE面积最大,最大值为.
(4)存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形.
∵A(﹣2,0),C(0,﹣6)
∴AC=
①若AC为菱形的边长,如图3,
则MN∥AC且,MN=AC=2
∴N1(﹣2,2),N2(﹣2,﹣2),N3(2,0)
②若AC为菱形的对角线,如图4,则AN4∥CM4,AN4=CN4
设N4(﹣2,n)
∴﹣n=
解得:n=﹣
∴N4(﹣2,﹣)
综上所述,点N坐标为(﹣2,2),(﹣2,﹣2),(2,0),(﹣2,﹣).
知识点:各地中考
题型:综合题
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