.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交...
问题详情:
.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求sin∠ABC的值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形,如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将点A(-1,0),C(0,2)代入抛物线y=-x2+bx+c中得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2;
(2)令y=-x2+x+2=0,
解得x1=-1,x2=4,
∴点B的坐标为(4,0),
在Rt△BOC中,BC==2,
∴sin∠ABC==;
(3)存在,点P坐标为(,)或(,-)或(,4).
【解法提示】由抛物线y=-x2+x+2得对称轴为直线x=,
∴点D的坐标为(,0).
∴CD==.
∵点P在对称轴x=上,且△PCD是以CD为腰的等腰三角形,
∴当点D为顶点时,有DP=CD=,
此时点P的坐标为(,)或(,-);
当点C为顶点时,如解图,连接CP,则CP=CD,过点C作CG⊥DP于点G,则DG=PG,
第1题解图
∵DG=2,
∴PG=2,PD=4,
∴点P的坐标为(,4).
综上,存在点P使△PCD是以CD为腰的等腰三角形,点P的坐标为(,)或(,-)或(,4).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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