如图,已知直线y=-3x+c与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,...
问题详情:
如图,已知直线y=-3x+c与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,与x轴的另一个交点是C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点,当S△PAB=2S△AOB时,求点P的坐标;
(3)连接BC,抛物线上是否存在点M,使∠MCB=∠ABO?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将A(1,0)代入y=-3x+c中,得-3+c=0,解得c=3.
∴y=-3x+3,B(0,3).
将A(1,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c中,得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)连接OP,如解图1所示.
抛物线的对称轴为直线x=-=-1.
设P(m,-m2-2m+3)(m<-1).
∵S△PAB=S△POB+S△AOB-S△POA,S△PAB=2S△AOB,
∴S△POB-S△POA=S△AOB.
①当P点在x轴的上方时,
×3×(-m)-×1×(-m2-2m+3)=×1×3,
解得m1=-2,m2=3(舍去).
此时P点的坐标为(-2,3).
②当P点在x轴的下方时,
×3×(-m)-×1×(m2+2m-3)=×1×3,
解得m1=-5,m2=0(舍去).
此时P点的坐标为(-5,-12).
综上所述,P点的坐标为(-2,3)或(-5,-12).
(3)存在点M,使∠MCB=∠ABO,点M的坐标为(,)或(-,).
【提示】 在y=-x2-2x+3中,令y=0,得-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,∴C(-3,0).∵OC=OB=3,∴△OBC为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,BC=3.①当∠MCB在直线BC的下方时,如解图2所示.设直线CM交y轴于点D,作DE⊥BC于点E,设D(0,t),则BD=3-t.∵∠DBE=45°,∴△BDE为等腰直角三角形,∴DE=BE=BD=(3-t).∵∠MCB=∠ABO,tan∠MCB=,tan∠ABO=,∴==,即CE=3DE,∴3-(3-t)=3×(3-t),解得t=,∴D(0,),∴直线CD的解析式为y=x+.联立舍去),此时M点的坐标为(,).②当∠MCB在直线BC的上方时,如解图3所示,设CM交直线AB于点N,过点N作NP⊥x轴于点P.易得直线AB的解析式为y=-3x+3,AB=.设N(k,-3k+3).∵∠MCB=∠ABO,∠CBO=∠OCB,∴∠NCA=∠ABC.又∵∠BAC=∠CAN,∴△ABC∽△ACN,∴=,即=,∴AN=.在Rt△NPA中,由勾股定理,得(k-1)2+(-3k+3)2=()2,解得k1=(舍去),k2=-.∴N点的坐标为(-,),∴直线CN的解析式为y=2x+6.联立解得 (舍去),此时M点的坐标为(-1,4).
综上所述,存在点M,使∠MCB=∠ABO,点M的坐标为(,)或(-1,4).
知识点:相似三角形
题型:综合题
-
(2011·河南省洛阳市统考)依次填入下列各句横线的词语,最恰当的一项是( )①近日,济宁联通公司在全市范...
问题详情: (2011·河南省洛阳市统考)依次填入下列各句横线的词语,最恰当的一项是()①近日,济宁联通公司在全市范围内开展的“吉祥号码”预存话费销售活动在消费者中引起一片________:预存话费是不是变相收取选号费?预存话费是否剥夺了普通消费者的择号权?②在洛杉矶...
-
一个质量为4kg的物体静止在足够大的光滑水平地面上.从t=0开始,物体受到一个大小和方向周期*变化的水平力F作...
问题详情:一个质量为4kg的物体静止在足够大的光滑水平地面上.从t=0开始,物体受到一个大小和方向周期*变化的水平力F作用,力F的变化规律如图所示.则( )A.t=2s时物体沿负方向运动的位移最大B.t=4s时物体运动的位移达最小值C.每个周期内物体的速度变化为一定值D.从t=0开...
-
一部欧美资产阶级*的纪录片,介绍了各国通过立法手段来巩固*成果,下列解说词中说法错误的是A.英国颁布了《权...
问题详情:一部欧美资产阶级*的纪录片,介绍了各国通过立法手段来巩固*成果,下列解说词中说法错误的是A.英国颁布了《权利法案》 B.美国*战争期间颁布《*宣言》C.法国大*期间颁布《*宣言》 D.美国南北战争期间颁布《1787年宪法》【回答】D知...
-
下列说法正确的是 A.物质发生化学反应都伴随着能量变化B.伴有能量变化的物质变化都是化学变化C.在一个确...
问题详情: 下列说法正确的是 A.物质发生化学反应都伴随着能量变化B.伴有能量变化的物质变化都是化学变化C.在一个确定的化学反应关系中,反应物的总能量总是高于生成物的总能量D.放热反应的发生无需任何条件【回答】A知识点:化学反应中的能量变化题型:选择题...
相关文章
- 如图,已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于点A,B,P是抛物线y=-x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a...
- 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,过点B作直线BC⊥x轴,交直线y=-...
- 如图10,抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,OB=3,顶点为D,对...
- 如图,直线y=-2x与直线y=kx+b相交于点A(a,2),并且直线y=kx+b经过x轴上点B(2,0).(1...
- 如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A、B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连...
- 如图,抛物线y=-x2+x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C...
- 如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交...
- 已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,一次函数y=kx+b的图象l经过抛物...
- 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,...
- 如图,直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B,C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+经...