已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x的正半轴,y轴于点A,B....
问题详情:
已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x的正半轴,y轴于点A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1.根据图象,写出x的取值范围;
(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(,y1),D(,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
【回答】
解:(1)由题意知,点M的坐标是(b,4b+1),
∴把x=b代入y=4x+1得y=4b+1,
∴点M在直线y=4x+1上.
(2)∵直线y=mx+5与y轴交于点B,
∴点B坐标为(0,5).
又∵B(0,5)在抛物线上,
∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,
∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,
∴当y=0时,得x1=5,x2=-1,∴A(5,0).
观察图象可得,当mx+5>-(x-b)2+4b+1时,
x的取值范围为x<0或x>5.
(3)如图,∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,
而直线AB的表达式为y=-x+5,
解方程组
∴点E(,),F(0,1).
点M在△AOB内,∴0<b<.
当点C,D关于抛物线对称轴对称时,
b-=-b,∴b=,且二次函数图象的开口向下,顶点M在直线y=4x+1上.
综上所述,①当0<b<时,y1>y2;
②当b=时,y1=y2;
③当<b<时,y1<y2.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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