如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点...

问题详情：

如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D. (Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标; (Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为,最大值为4,求a,b应满足的条件; (Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【回答】

解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3, 得－9＋6(m－2)＋3=0, 解得m=3, 则二次函数为y=－x2＋2x＋3, ∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D的坐标为(1,4); (Ⅱ)把y=代入y=－x2＋2x＋3中, 得=－x2＋2x＋3, 解得x1=－,x2=,

又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),

结合图象知－≤a≤1. 当a=－时,1≤b≤, 当－＜a≤1时,b=; (Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,

当x=0时,y=3,

∴点C坐标为(0,3). 当△PDC是等腰三角形时,分三种情况: ①如解图①,当DC=DP时,

由抛物线的对称*知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称, ∴点P坐标为(2,3); ②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,

过点D作x轴的平行线交y轴于点H,

过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N, ∵HD=HC=1,PC=PD, ∴HP是线段CD的垂直平分线. ∵HD=HC,HP⊥CD, ∴HP平分∠MHN, ∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN. 设P(m,－m2＋2m＋3),

则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=, ∴点P的坐标为(,)(解图中未标记此点)或(,); ③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.      综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(,)或(,).

    图①           图②         图③

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题