在平面直角坐标系中,直线l:y=x+3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2+mx+n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=...
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在平面直角坐标系中,直线l:y=x+3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2+mx+n的图象经过点A. (Ⅰ)当m=4时,求n的值; (Ⅱ)设m=-2,当-3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n的最小值; (Ⅲ)当-3≤x≤0时,若二次函数y=x2+mx+n时的最小值为-4,求m、n的值.
【回答】
解:(Ⅰ)当y=x+3=0时,x=-3, ∴点A的坐标为(-3,0). ∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A, ∴0=9-3m+n,即n=3m-9, ∴当m=4时,n=3m-9=3; (Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x=-, 当m=-2时,对称轴为x=1,n=3m-9=-15, ∴当-3≤x≤0时,y随x的增大而减小, ∴当x=0时,二次函数y=x2+mx+n取得最小值,最小值为-15. (Ⅲ)①当对称轴-≤-3,即m≥6时, 在-3≤x≤0范围内,y随x的增大而增大,当x=-3时,y取得最小值0,不符合题意; ②当-3<-<0,即0<m<6时,在-3≤x≤0范围内,x=-时,y取得最小值,
∵二次函数最小值为-4, ∴, 解得:或(舍去), ∴m=2,n=-3; ③当-≥0,即m≤0时,在-3≤x≤0范围内,y随x的增大而减小,当x=0时,y取最小值,即n=-4,
∴, 解得:(舍去). 综上所述:m=2,n=-3.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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