.已知直线y=2x＋m与抛物线y=ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐...

问题详情：

.已知直线y=2x＋m与抛物线y=ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b.

(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);

(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;

(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N,若－1≤a≤－,求线段MN长度的取值范围;

【回答】

解:(Ⅰ)∵抛物线过点M(1,0),

∴a＋a＋b=0,即b=－2a,

∵y=ax2＋ax＋b=ax2＋ax－2a=a(x＋)2－,

∴抛物线顶点Q的坐标为(－,－);

(Ⅱ)∵直线y=2x＋m经过点M(1,0),

∴0=2×1＋m,解得m=－2,

把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0①,

∴Δ=(a－2)2－4a(－2a＋2)=9a2－12a＋4,

又∵a＜b,b=－2a,

∴a＜0,b＞0,

∴Δ=9a2－12a＋4＞0,

∴方程①有两个不相等的实数根,

∴直线与抛物线有两个交点;

（Ⅲ）把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0,

即x2＋(1－)x－2＋=0,

∴[x＋(－)]2=(－)2,解得x1=1,x2=－2,

将x=－2代入y=2x－2得y=－6,

∴点N(－2,－6),

根据两点间的距离公式得,

MN 2=[(－2)－1]2＋(－6)2=－＋45=20(－)2,

∵－1≤a≤－,则－2≤≤－1,

∴－＜0,

∴MN=2(－)=3－,

又∵－1≤a≤－,

∴5≤MN≤7.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题