如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求抛物线的解析式...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)

(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

【回答】

解：(1)将C、A两点坐标代入y＝x2＋bx＋c，可得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；

(2)当y＝0时，则有：x2－5x－6＝0，

即(x＋1)(x－6)＝0，

∴解得x1＝－1，x2＝6(舍)，

∴B(－1，0)．

由两点之间的距离公式可得：

BC2＝[(－1)－6]2＝49，

AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，

AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，

∵AB2＋BC2>AC2，

∴△ABC为锐角三角形．

(3)存在满足条件的点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形

理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P，

第3题解图

直线MP与抛物线必有两个满足条件的交点P，

∵A(0，－6)，C(6，0)，

∴点M的坐标为(3，－3)，且OA=OC，

∴直线MP过点O，

设直线MP的解析式为y＝kx，

将点M(3，－3)代入得，k＝－1，

即直线MP的解析式为y＝－x，

联立，

解得

∴点P的坐标为(2－，－2)或(2＋，－2－)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题