在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．

①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（3分）

（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），

易得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，

①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，

Rt△BOC中，OC=4，OB=8，

∴BC==4，

在Rt△PDE中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=PE，

∴当线段PE最长时，PD的长最大，

设P（t，），则E（t，），

∴PG=﹣，EG=﹣t+4，

∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），

当t=4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），

∴PD==，

即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；（7分）

②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∴AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△COA∽△BOC，

当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，

∵相似三角形的对应角相等，

∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，

（I）若∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，

此时CP∥OB，

∵C（0，4），

∴yP=4，

∴）=4，

解得：x1=6，x2=0（舍），

即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；

（II）若∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，

如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，

∴PF∥OC，

∴∠PFC=∠BCO，

∴∠PCD=∠PFC，

∴PC=PF，

设P（n，+n+4），则PF=﹣+2n，

过P作PN⊥y轴于N，

Rt△PNC中，PC2=PN2+CN2=PF2，

∴n2+（+n+4﹣4）2=（﹣+2n）2，

解得：n=3，

即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3，）；

综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．（12分）

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和*质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会根据方程解决问题，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：综合题