在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

(1)在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为　     　，伴随直线为　     　，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　    　和　      　；

(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值.

【回答】

解：

(1)∵y=（x+1）2﹣4，

∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，

∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故*为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

(2)①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，

∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣；

②设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），

∴，解得，

∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，

过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]，

∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，

∴当x=时，△PBC的面积有最大值﹣m，

∴S取得最大值时，即﹣m=，解得m=﹣2．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题