综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，...

问题详情：

综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AB的函数解析式为　   　，点M的坐标为　   　，cos∠ABO＝　   　；

连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　   　；

（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

(1)y＝x2+2x；(2)y＝x+4，M(-2，-2），cos∠ABO＝；(-2，2)或(0，4)；(3)点Q(0，-)；(4)存在，点N的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)

【解析】

(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；

(2)点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，即可求解；

(3)△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；

(4)分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，

故抛物线的解析式为：y＝x2+2x；

(2)点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；

则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；

对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝-2，故点M(-2-2)；

OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，，

则，解得：yP＝2或4，

故点P(-2，2)或(0，4)，

故*为：y＝x+4；(-2-2)；；(-2，2)或(0，4)；

(3)△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，

点A′（4，0），

设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，

故直线A′M的表达式为：，

令x＝0，则y＝，故点Q（0，）；

(4)存在，理由如下：

设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），

①当AC是边时，

点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），

即0 ± 6＝m，0 ± 6＝n，解得：m＝n＝±6，

故点N(6，6)或(-6，-6)；

②当AC是对角线时，

由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，

解得：m＝-2，n＝6，

故点N(-2，6）；

综上，点N的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的*质、平行四边形的*质、图形的平移、面积的计算等，其中第4问要注意分类求解，避免遗漏．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题