如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：...

问题详情：

如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；

（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）

∴

解得：

∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1

（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M

∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1

∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2

（3）共分两种情况

①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）

∴AN=t﹣（﹣2）=t+2

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0（舍去），t2=1

∴t=1

②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）

∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0，t2=1（舍去）

∴t=0

故t的值为1或0

（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：

易得K（0，3），B、O、N三点共线

∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）

∴点K、P关于直线AN对称

设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）

∴Q2与点P关于直线AN对称

∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．

则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP．

由图形易得Q1（﹣3，3）

设点Q3坐标为（a，b），由对称*可知Q3N=NQ1=BN=2

由∵⊙K半径为1

∴

解得，1

同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称*可知Q4N=NQ2=NO=

∴

解得

，

∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、（，）、（，）

【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本*质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．

知识点：各地中考

题型：综合题