在平面直角坐标系中,抛物线y=x2－2x＋c(c为常数)的对称轴为x=1.(Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)...

问题详情：

在平面直角坐标系中,抛物线y=x2－2x＋c(c为常数)的对称轴为x=1. (Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2－2x＋c上,求y1的最小值; (Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点B左侧,且OA=OB,求抛物线的解析式; (Ⅲ)当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.

【回答】

解:(Ⅰ)当c=－3时,抛物线为y=x2－2x－3, ∴抛物线开口向上,有最小值, ∴y最小值===－4, ∴y1的最小值为－4; (Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点, ①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①, 设A(m,0),∵OA=OB, ∴B(2m,0), ∵二次函数y=x2－2x＋c的对称轴为x=1, 由抛物线的对称*得1－m=2m－1,解得m=, ∴A(,0), ∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上, ∴0=－＋c,解得c=, 此时抛物线的解析式为y=x2－2x＋; ②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②, 设A(－n,0),∵OA=OB,且点A、B在原点的两侧, ∴B(2n,0), 由抛物线的对称*得n＋1=2n－1, 解得n=2,∴A(－2,0), ∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上, ∴0=4＋4＋c,解得c=－8, 此时抛物线的解析式为y=x2－2x－8, 综上,抛物线的解析式为y=x2－2x＋或y=x2－2x－8; (Ⅲ)∵抛物线y=x2－2x＋c与x轴有公共点, ∴对于方程x2－2x＋c=0,判别式b2－4ac=4－4c≥0, ∴c≤1. 当x=－1时,y=3＋c;当x=0时,y=c, ∵抛物线的对称轴为x=1,且当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点, ∴3＋c＞0且c＜0,解得－3＜c＜0, 综上,当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为－3＜c＜0.