如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任...

问题详情：

如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．

【回答】

解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2﹣x﹣2；

（2）如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称，

∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC，

∴△P1MP2≌△CMB，

∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，

此时P1（﹣1，0），

∵B（0，﹣2），对称轴：直线x=，

∴P2（1，﹣2）；

如图2，MP2∥BC，且MP2=BC，

此时，P1与C重合，

∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M，

∴△BMC≌△P2P1M，

∴P1（2，0），

由点B向右平移个单位到M，可知：点C向右平移个单位到P2，

当x=时，y=（﹣）2﹣=，

∴P2（，）；

如图3，构建▱MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此时P2与B重合，

由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1，

∴点P1的横坐标为﹣，

当x=﹣时，y=（﹣﹣）2﹣=4﹣=，

∴P1（﹣，），P2（0，﹣2）；

（3）如图3，存在，

作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2，

则∠BQ1C=∠BQ2C=90°；

过Q1作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E，

设Q1（，y）（y＞0），

易得△BDQ1∽△Q1EC，

∴，

∴=，

y2+2y﹣=0，

解得：y1=（舍），y2=，

∴Q1（，），

同理可得：Q2（，）；

综上所述，点Q的坐标是：（，）或（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的*质、圆周角定理以及三角形全等的*质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称*解决三角形全等问题；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称*，再结合相似三角形、方程解决问题是关键．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题