已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(0、﹣4)与x轴交于另一点C,连接BC.(1)求抛物线的...
问题详情:
已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(0、﹣4)与x轴交于另一点C,连接BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且S△PBO=S△PBC,求*:AP∥BC;
(3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)把点A(﹣2,0),B(0、﹣4)代入抛物线y=x2+bx+c中得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣4;
(2)当y=0时,x2﹣x﹣4=0,
解得:x=﹣2或4,
∴C(4,0),
如图1,过O作OE⊥BP于E,过C作CF⊥BP于F,设PB交x轴于G,
∵S△PBO=S△PBC,
∴,
∴OE=CF,
易得△OEG≌△CFG,
∴OG=CG=2,
设P(x,x2﹣x﹣4),过P作PM⊥y轴于M,
tan∠PBM===,
∴BM=2PM,
∴4+x2﹣x﹣4=2x,
x2﹣6x=0,
x1=0(舍),x2=6,
∴P(6,8),
易得AP的解析式为:y=x+2,
BC的解析式为:y=x﹣4,
∴AP∥BC;
(3)以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE,四种,其中△ABE重合,不符合条件,△ACE不能构成三角形,
∴当△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似,存在两个三角形:△ABC和△BCE,
①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,
∵∠BAE=∠BAC,∠ABE≠∠ABC,
∴∠ABE=∠ACB=45°,
∴△ABE∽△ACB,
∴,
∴,
∴AE=,
∴E(,0),
∵B(0,﹣4),
易得BE:y=,
则x2﹣x﹣4=x﹣4,
x1=0(舍),x2=,
∴D(,);
②当△ABE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,
∵∠BEA=∠BEC,
∴当∠ABE=∠BCE时,△ABE∽△BCE,
∴==,
设BE=2m,CE=4m,
Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,
∴,
3m2﹣8m+8=0,
(m﹣2)(3m﹣2)=0,
m1=2,m2=,
∴OE=4m﹣4=12或,
∵OE=<2,∠AEB是钝角,此时△ABE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形不相似,如图4,
∴E(﹣12,0);
同理得BE的解析式为:y=﹣x﹣4,
﹣x﹣4=x2﹣x﹣4,
x=或0(舍)
∴D(,﹣);
综上,点D的坐标为(,)或(,﹣).
知识点:各地中考
题型:综合题
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