如图,抛物线与x轴交于点A(﹣,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC.(1)求抛物线的函数...
问题详情:
如图,抛物线与x轴交于点A(﹣,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(﹣<t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式;
(3)若﹣<t<2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标.
【回答】
解答: 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题可得:
解得:a=-1.5,b=2.5,c=1,∴抛物线的函数关系式为y=﹣1.5x2+2.5x+1;
(2)当﹣<t<2时,yN>0,∴NP==yN=﹣1.5x2+2.5x+1,
∴S=AB•PN=×(2+)×(﹣1.5x2+2.5x+1)=(﹣1.5x2+2.5x+1)=﹣t2+t+;
(3)∵△OPN∽△COB,∴,∴PN=2PO.
①当﹣<t<0时,PN==yN=﹣1.5x2+2.5x+1,PO=﹣t,∴﹣1.5x2+2.5x+1=﹣2t,
整理得:3t2﹣9t﹣2=0,解得:t1=,t2=.
∵>0,﹣<<0,
∴t=,此时点N的坐标为(,);
②当0<t<2时,PN==yN=﹣1.5x2+2.5x+1,PO=t,∴﹣1.5x2+2.5x+1=2t,
整理得:3t2﹣t﹣2=0,解得:t3=﹣,t4=1.
∵﹣<0,0<1<2,∴t=1,此时点N的坐标为(1,2).
综上所述:点N的坐标为(,)或(1,2).
知识点:相似三角形
题型:解答题
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