抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式...
问题详情:
抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线上求一点P,使S△PAB=S△ABC,写出P点的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)所求P点的坐标为(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3);(3)点Q的坐标是(﹣1,2).
【分析】
(1)将A(-3,0),B(1,0)两点代入y=-x2+bx+c,利用待定系数法求解即可求得*;
(2)首先求得点C的坐标为(0,3),然后根据同底等高的两个三角形面积相等,可得P点的纵坐标为±3,将y=±3分别代入抛物线的解析式,求出x的值,即可求得P点的坐标;
(3)根据两点之间线段最短可得Q点是AC与对称轴的交点.利用待定系数法求出直线AC的解析式,将抛物线的对称轴方程x=-1代入求出y的值,即可得到点Q的坐标.
【详解】
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵y=﹣x2﹣2x+3,
∴x=0时,y=3,
∴点C的坐标为(0,3).
设在抛物线上存在一点P(x,y),使S△PAB=S△ABC,
则|y|=3,即y=±3.
如果y=3,那么﹣x2﹣2x+3=3,解得x=0或﹣2,
x=0时与C点重合,舍去,所以点P(﹣2,3);
如果y=﹣3,那么﹣x2﹣2x+3=﹣3,解得x=﹣1±,
所以点P(﹣1±,﹣3);
综上所述,所求P点的坐标为(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3);
(3)连结AC与抛物线的对称轴交于点Q,此时△QBC的周长最小.
设直线AC的解析式为:y=mx+n,
∵A(﹣3,0),C(0,3),
∴,解得:,
∴直线AC的解析式为:y=x+3.
∵y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1,
∴当x=﹣1时,y=﹣1+3=2,
∴点Q的坐标是(﹣1,2).
【点睛】
此题考查了抛物线与x轴的交点,待定系数法求函数的解析式,二次函数的*质,三角形的面积以及轴对称-最短路线问题.正确求出函数的解析式是解此题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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