如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线...
问题详情:
如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点p作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值;
(3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
(1)解:把A(﹣1,0),B(3,0)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3, 得到 , 解得 , ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3. (2)解:如图1中,连接PB、PC.设P(m,m2﹣2m﹣3), ∵B(3,0),C(0,﹣3), ∴OB=OC, ∴∠OBC=45°, ∵PF∥OB, ∴∠PFE=∠OBC=45°, ∵PE⊥BC, ∴∠PEF=90°, ∴△PEF是等腰直角三角形, ∴PE最大时,△PEF的面积中点,此时△PBC的面积最大, 则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC= •3•(﹣m2+2m+3)+ •3•m﹣ =﹣ (m﹣ )2+ , ∴m= 时,△PBC的面积最大,此时△PEF的面积也最大, 此时P( ,﹣ ), ∵直线BC的解析式为y=x﹣3, ∴F(﹣ ,﹣ ), ∴PF= , ∵△PEF是等腰直角三角形, ∴EF=EP= , ∴C△PEF最大值= + . (3)解:①如图2中, 当N与C重合时,点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQP是正方形,易知P(2,﹣3).点P横坐标为2, ②如图3中,当四边形PMQN是正方形时,作PF⊥y轴于N,ME∥x轴,PE∥y轴. 易知△PFN≌△PEM, ∴PF=PE,设P(m,m2﹣2m﹣3), ∵M(1,﹣4), ∴m=m2﹣2m﹣3﹣(﹣4), ∴m= 或 (舍弃), ∴P点横坐标为 所以满足条件的点P的横坐标为2或 . 【考点】二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式,等腰三角形的判定与*质,正方形的判定与*质,轴对称的*质 【解析】分析:(1)把A,B两点坐标代入抛物线,即可求出此函数解析式。 (2)由B(3,0),C(0,﹣3)两点坐标,可得出△OBC是等腰直角三角形,根据已知PE⊥BC,PF∥x轴,可*得△PEF是等腰直角三角形,则PE最大时,△PEF的面积中点,此时△PBC的面积最大,求出S△PBC与m的函数关系式,求出其顶点坐标,即可得到△PBC的面积最大时m的值,再求出直线BC的解析式,即可求得点F的坐标,求出PF、EF、EP的长,即可△PEF周长的最大值。 (3)①当N与C重合时,点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQP是正方形,易知P点坐标;②当四边形PMQN是正方形时,作PF⊥y轴于N,ME∥x轴,PE∥y轴.易知△PFN≌△PEM,得到F=PE,建立方程,求解即可得到满足条件的点P的横坐标。
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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