如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)...
问题详情:
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积;
(3)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)解:将A、B点坐标代入函数解析式,得 , 解得 , 抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3 (2)解:将抛物线的解析式化为顶点式,得 y=(x﹣1)2﹣4, M点的坐标为(1,﹣4), M′点的坐标为(1,4), 设AM′的解析式为y=kx+b, 将A、M′点的坐标代入,得 , 解得 , AM′的解析式为y=2x+2, 联立AM′与抛物线,得 , 解得 , C点坐标为(5,12). S△ABC= ×4×12=24 (3)解:存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形, 由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得 P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2), ①当顶点P(1,﹣2)时,设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2﹣2, 将A点坐标代入函数解析式,得 a(﹣1﹣1)2﹣2=0, 解得a= , 抛物线的解析式为y= (x﹣1)2﹣2, ②当P(1,2)时,设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+2,将 A点坐标代入函数解析式,得 a(﹣1﹣1)2+2=0, 解得a=﹣ , 抛物线的解析式为y=﹣ (x﹣1)2+2, 综上所述:y= (x﹣1)2﹣2或y=﹣ (x﹣1)2+2,使得四边形APBQ为正方形. 【考点】待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,正方形的*质,关于x轴、y轴对称的点的坐标,二次函数与一次函数的交点问题 【解析】【分析】(1)根据待定系数法,将A、B点坐标代入函数解析式,即可求解。 (2)先求出顶点坐标,根据轴对称的*质,可求得点M′的坐标,再求出直线AM′的解析式,再将两函数解析式联立,建立方程组,求解即可求出点C的坐标,然后求出△ABC的面积。 (3)根据正方形的*质,求得P、Q两点的坐标,根据待定系数法,可得函数解析式。
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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