如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C,对称轴为直线x=1,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.(1)...
问题详情:
如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C,对称轴为直线x=1,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)经过点A的直线交抛物线于点P,交x轴于点Q,若S△OPA=2S△OQA,试求出点P的坐标.
【回答】
【解析】(1)由题意得:,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2;
(2)∵由y=-x2+2x+2得:当x=0时,y=2,
∴B(0,2),
由y=-(x-1)2+3得:C(1,3),
∵A(3,-1),
∴AB=3,BC=,AC=2,
∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)①如图,当点Q在线段AP上时,
过点P作PE⊥x轴于点E,AD⊥x轴于点D
∵S△OPA=2S△OQA,
∴PA=2AQ,
∴PQ=AQ
∵PE∥AD,
∴△PQE∽△AQD,
∴==1,
∴PE=AD=1
∵由-x2+2x+2=1得:x=1,
∴P(1+,1)或(1-,1),
②如图,当点Q在PA延长线上时,
过点P作PE⊥x轴于点E,AD⊥x轴于点D
∵S△OPA=2S△OQA,
∴PA=2AQ,
∴PQ=3AQ
∵PE∥AD,
∴△PQE∽△AQD,
∴==3,
∴PE=3AD=3
∵由-x2+2x+2=-3得:x=1±,
∴P(1+,-3),或(1-,-3),
综上可知:点P的坐标为(1+,1)、(1-,1)、(1+,-3)或(1-,-3).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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