如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1...

问题详情：

如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标

【回答】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；

（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的*质易得P1（，4）；当DP=DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；

（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的*质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）存在．

抛物线的对称轴为直线x=﹣=，

则D（，0），

∴CD===，

如图1，当CP=CD时，则P1（，4）；

当DP=DC时，则P2（，），P3（，﹣），

综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；

（3）当y=0时，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，

设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），

∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x，

而S△BCD=×2×（4﹣）=，

∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD

=﹣x2+4x+（0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）2+

当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题