如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称...

问题详情：

如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．

（1）求抛物线的对称轴方程；

（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．

【回答】

（1）x＝5；（2）y＝x2﹣x+4；（3）点P的坐标为（5，9）或（5，）．

【分析】

（1）D点坐标（ ，c），M点坐标（， ）， ，化简求出b值；代入计算， 即是对称轴的方程．

（2）利用韦达定理求出AE，AE＝AB，AB＝＝＝；在R t 中， DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即可求解．

（3）作的外接圆，圆心点K 到点C、Q距离相等，构造一个含坐标参数的方程，线段KQ只有一个解，利用根的判别式，计算出P点坐标．

【详解】

（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，点D在抛物线对称轴上，

∴点D纵坐标为c，

∵点M是抛物线顶点，

∴点M的纵坐标为，

则DM＝c﹣（c﹣b2）＝， ；

解得b＝（舍去），或b＝﹣，

抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝=5；

（2）由（1）可知抛物线的表达式为y＝x2﹣x+c，

令y＝x2﹣x+c＝0，设A、B两点横坐标为xA、xB，则xA+xB＝10，xAxB＝4c，

则AB＝＝＝，

在Rt中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，

由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2， ，

25＝c2+25﹣4c，化简得： ，解得c＝4，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；

（3）如图，连接PQ、PC、QC，作的外接圆K，连接KP、KC，

过点K作y轴的垂线，交y轴于点F，交抛物线的对称轴于点N，

设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），

∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，

∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，

∴∠FKC＝∠NPK，

∴Rt≌Rt（AAS），

∴CF＝NK，PN＝MK，

∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，

∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，

故点K的坐标为（m，m﹣1），点P的坐标为（5，2m﹣1）．

由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，﹣），点B的坐标为（8，0），

由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y＝x﹣6，

设点Q的坐标为（r，r﹣6），

由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣r+6）2，

整理得：r2﹣（m+）r+20m＝0，关于r的一元二次方程，

∵直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，

∴△＝（m+）2﹣4××20m＝0，

解得m＝5或，

点P坐标（5，t），t＝2m﹣1，当m＝5时，t＝9；

当m＝时，t＝；

故点P的坐标为（5，9）或（5，）．

【点睛】

本题考查勾股定理，一元二次方程根的判别式，二次函数图像*质，圆与直线关系；涵盖知识点多，理解题中“直线BM上只存在一个点Q”隐含的条件，即的外接圆与直线BM相切，这是解决第三个问题的关键．

知识点：解一元二次方程

题型：解答题