如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求...
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如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值.
【回答】
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(3,0),B(﹣1,0)
∴ 解得:
∴这条抛物线对应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3
(2)在y轴上存在点P,使得△PAM为直角三角形.
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4
∴顶点M(1,4)
∴AM2=(3﹣1)2+42=20
设点P坐标为(0,p)
∴AP2=32+p2=9+p2,MP2=12+(4﹣p)2=17﹣8p+p2
①若∠PAM=90°,则AM2+AP2=MP2
∴20+9+p2=17﹣8p+p2
解得:p=﹣
∴P(0,﹣)
②若∠APM=90°,则AP2+MP2=AM2
∴9+p2+17﹣8p+p2=20
解得:p1=1,p2=3
∴P(0,1)或(0,3)
③若∠AMP=90°,则AM2+MP2=AP2
∴20+17﹣8p+p2=9+p2
解得:p=
∴P(0,)
综上所述,点P坐标为(0,﹣)或(0,1)或(0,3)或(0,)时,△PAM为直角三角形.
(3)如图,过点I作IE⊥x轴于点E,IF⊥AD于点F,IH⊥DG于点H
∵DG⊥x轴于点G
∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90°
∴四边形IEGH是矩形
∵点I为△ADG的内心
∴IE=IF=IH,AE=AF,DF=DH,EG=HG
∴矩形IEGH是正方形
设点I坐标为(m,n)
∴OE=m,HG=GE=IE=n
∴AF=AE=OA﹣OE=3﹣m
∴AG=GE+AE=n+3﹣m
∵DA=OA=3
∴DH=DF=DA﹣AF=3﹣(3﹣m)=m
∴DG=DH+HG=m+n
∵DG2+AG2=DA2
∴(m+n)2+(n+3﹣m)2=32
∴化简得:m2﹣3m+n2+3n=0
*得:(m﹣)2+(n+)2=
∴点I(m,n)与定点Q(,﹣)的距离为
∴点I在以点Q(,﹣)为圆心,半径为的圆在第一象限的弧上运动
∴当点I在线段CQ上时,CI最小
∵CQ=
∴CI=CQ﹣IQ=
∴CI最小值为.
知识点:各地中考
题型:综合题
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