如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).(1)求抛物线的解析式及...
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如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,*你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
【回答】
【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.
y=x2﹣x﹣2
=( x2﹣3x﹣4 )
=(x﹣)2﹣,
∴顶点D的坐标为 (,﹣).
(2)当x=0时y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.
当y=0时, x2﹣x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B (4,0)
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,
连接C′D交x轴于点M,根据轴对称*及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.
解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴,
∴m=.
解法二:设直线C′D的解析式为y=kx+n,
则,
解得:.
∴.
∴当y=0时,,.
∴.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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