如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的...

问题详情：

如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；

（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，

故：点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），

把A、B点坐标代入二次函数表达式得：，

解得：，

则：求抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4…①；

（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，

∠ABP＝90°，则OB为线段AC的垂直平分线，则点C坐标为（0，﹣4），

则：直线BC的表达式为：y＝kx﹣4，

把点B点坐标代入上式，解得：k＝1，

故：直线BC的表达式为：y＝x﹣4…②，

将①②联立解得：x＝±4（舍去正值），

故点P的坐标为（﹣4，﹣8）；

（3）存在；①当OB是平行四边形的一条边时，

以E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形时，有如下图所示的两种情况：

先求解左侧图中F点的坐标，

此时EF＝OB＝4，

则：点F的横坐标为5，把点F（或F″）的横坐标代入二次函数表达式，

解得：y＝﹣，即点F坐标为（5，﹣），

同理：点F的坐标为（﹣3，﹣）；

②当OB是平行四边形的对角线时，

以E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形时，有如下图所示的一种情况：

∵OE′BF′为平行四边形，∴OE′＝BF′，∠BOE′＝∠F′BO，

过点E′、F′分别作x轴的平行线，分别交y轴和y轴的平行线与点M、N，

∠MOE′＝90°﹣∠BOE′，∠NBF′＝90°﹣∠F′BO，

∴∠MOE′＝∠NBF′，又OE′＝BF′，∠OME′＝∠BNF′＝90°，

∴△OME′≌△BNF′（AAS），

∴OM＝BN＝1，ME′＝F′N，

设：BN＝m，则：点F′坐标为：（3，m），

把点F′坐标代入二次函数表达式，解得：m＝，

故：点F′坐标为（3，），

综上所述：点F的坐标为（5，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题