如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试...

问题详情：

如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．

（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；

（2）若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；

（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4，

当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴C（﹣1，0）；

故*为y＝﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；

（2）∵△AQP∽△AOC，

∴＝，

∴＝＝＝4，即AQ＝4PQ，

设P（m，﹣m2+3m+4），

∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m，

解方程4（m2﹣3m）＝m得m1＝0（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，）；

解方程4（m2﹣3m）＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，）；

综上所述，点P的坐标为（，）或（，）；

（3）设P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），

当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，

则PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，

∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，

∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m，

∵∠AQ′O＝∠Q′PH，

∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，

∴＝，即＝，解得Q′B＝4m﹣12，

∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，

在Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2＝m2，

整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为（4，0）或（5，﹣6）；

当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，

∴PQ＝AQ′，

即|m2﹣3m|＝m，

解方程m2﹣3m＝m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；

解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝2，此时P点坐标为（2，6），

综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的*质和折叠的*质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的*质进行几何计算；理解坐标与图形*质．会运用分类讨论的思想解决数学问题．

知识点：相似三角形

题型：综合题