如图，已知抛物线y=ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．（1）求该抛...

问题详情：

如图，已知抛物线y=ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．

（1）求该抛物线和直线BC的解析式；

（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得：，

解得：，

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣6，

其对称轴为：x=4，

故点C的坐标为（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：，

解得：，

故直线BC的解析式为y=x﹣6；

（2）联立直线BC与抛物线的解析式：，

解得：或，

故点D的坐标为（5，），

则S△ABD=S△ACD+S△ABC=AC×D纵+AC×|B纵|=．

（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；

点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：

A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），

设直线A'B的解析式为：y=mx+n，代入两点坐标可得：，

解得：，

即直线A'B的解析式为y=x﹣6，

故点Q的坐标为（4，﹣2）．

即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题