已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的...

问题详情：

已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．

【回答】

【解答】解：（1）由题意：，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，

∴顶点D坐标（2，3）．

（2）可能．如图1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），

∴AB＝8，AD＝BD＝5，

①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，

∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．

②当DE＝EF时，

又∵△BEF∽△AED，

∴△BEF≌△AED，

∴BE＝AD＝5

③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，

△FDE∽△DAB，

∴＝，

∴＝＝，

∵△AEF∽△BCE

∴＝＝，

∴EB＝AD＝，

答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．

（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，

则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，

∵﹣＜0，

∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，

∵＝m，

∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，

观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，

当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，

当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．

知识点：各地中考

题型：综合题