已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(4,0).(1)求抛物线的函数解析式;(2)如图①,将抛...
问题详情:
已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(4,0).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)如图①,将抛物线沿x轴翻折得到抛物线,抛物线与y轴交于点C,点D是线段BC上的一个动点,过点D作DE∥y轴交抛物线于点E,求线段DE的长度的最大值;
(3)在(2)的条件下,当线段DE处于长度最大值位置时,作线段BC的垂直平分线交DE于点F,垂足为H,点P是抛物线上一动点,⊙P与直线BC相切,且S⊙P:S△DFH=2π,求满足条件的所有点P的坐标.
【回答】
(1);(2)9;(3)(,﹣),(,),(,),(,).
【分析】
(1)将点A(﹣1,0)和点B(4,0)代入即可得到结论;
(2)由对称*可知,得到抛物线y2的函数解析式为,求得直线BC的解析式为:y=﹣x+4,设D(m,﹣m+4),E(m,),其中0≤m≤4,得到DE=﹣m+4﹣()=,即可得到结论;
(3)由题意得到△BOC是等腰直角三角形,求得线段BC的垂直平分线为y=x,由(2)知,直线DE的解析式为x=1,得到H(2,2),根据S⊙P:S△DFH=2π,得到r=,由于⊙P与直线BC相切,推出点P在与直线BC平行且距离为的直线上,于是列方程即可得到结论.
【详解】
解:(1)将点A(﹣1,0)和点B(4,0)代入得:
解得,
∴抛物线y1的函数解析式为:;
(2)由对称*可知,抛物线y2的函数解析式为:,
∴C(0,4),
设直线BC的解析式为:y=kx+q,
把B(4,0),C(0,4)代入得,k=﹣1,q=4,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+4,设D(m,﹣m+4),E(m,),其中0≤m≤4,
∴DE=﹣m+4﹣()=,
∵0≤m≤4,
∴当m=1时,DEmax=9;
此时,D(1,3),E(1,﹣6);
(3)由题意可知,△BOC是等腰直角三角形,
∴线段BC的垂直平分线为:y=x,由(2)知,直线DE的解析式为:x=1,
∴F(1,1),
∵H是BC的中点,
∴H(2,2),
∴DH=,FH=,
∴S△DFH=1,设⊙P的半径为r,
∵S⊙P:S△DFH=2π,
∴r=,
∵⊙P与直线BC相切,
∴点P在与直线BC平行且距离为的直线上,
∴点P在直线y=﹣x+2或y=﹣x+6的直线上,
∵点P在抛物线上,
∴,
解得:x1=,x2=,
,
解得:x3=,x4=,
∴符合条件的点P坐标有4个,分别是(,﹣),(,),(,),(,).
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式,折叠的*质,二次函数的最大值问题,等腰直角三角形的*质,线段的垂直平分线的*质,直线与圆的位置关系,正确的理解题意是解题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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