如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）...

问题详情：

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，连接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，

代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，

∴m的值为7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴抛物线对称轴为x=2，

∴可设P（2，t），

由（2）可知E点坐标为（1，8），

①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△BEF中

∴△PQN≌△BEF（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，

∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②当BE为对角线时，

∵B（5，0），E（1，8），

∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），

设Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题