抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)如...
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抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
(3)如图2,将抛物线平移,使其顶点E与原点O重合,直线y=kx+2(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边),过点P作x轴平行线交抛物线于点H,当k发生改变时,请说明直线QH过定点,并求定点坐标.
【回答】
解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C,
把点A(﹣1,0),C(0,﹣3)代入,得:,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图,作CH⊥EF于H,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线的顶点坐标E(1,﹣4),
设N的坐标为(1,n),﹣4≤n≤0
∵∠MNC=90°,
∴∠CNH+∠MNF=90°,
又∵∠CNH+∠NCH=90°,
∴∠NCH=∠MNF,
又∵∠NHC=∠MFN=90°,
∴Rt△NCH∽△MNF,
∴,即
解得:m=n2+3n+1=,
∴当时,m最小值为;
当n=﹣4时,m有最大值,m的最大值=16﹣12+1=5.
∴m的取值范围是.
(3)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H,
∴H(﹣x1,y1),
∵y=kx+2,y=x2,
消去y得,x2﹣kx﹣2=0,
x1+x2=k,x1x2=﹣2,
设直线HQ表达式为y=ax+t,
将点Q(x2,y2),H(﹣x1,y1)代入,得,
∴y2﹣y1=a(x1+x2),即k(x2﹣x1)=ka,
∴a=x2﹣x1,
∵=( x2﹣x1)x2+t,
∴t=﹣2,
∴直线HQ表达式为y=( x2﹣x1)x﹣2,
∴当k发生改变时,直线QH过定点,定点坐标为(0,﹣2).
知识点:相似三角形
题型:综合题
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