抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的...

问题详情：

抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【回答】

解：（1）当x=0，y=3，

∴C（0，3）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣）．

将C（0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3．

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．

∵OC=3，AO=1，

∴tan∠CAO=3．

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵AC⊥BM，

∴BM的一次项系数为﹣．

设BM的解析式为y=﹣x+b，将点B的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．

∴BM的解析式为y=﹣x+．

将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．

∴MC=BM═=．

∴△MCB为等腰直角三角形．

∴∠ACB=45°．

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．

∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，

∴∠ECD＞45°．

又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，

∴∠CAO=∠ECD．

∴CF=AF．

设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．

∴F（4，0）．

设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．

∴CF的解析式为y=﹣x+3．

将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．

将x=代入y=﹣x+3得：y=．

∴D（，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题