如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，5），与x轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点．（1）求抛...

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如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，5），与x轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标； （3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

【回答】

解：（1）由题意得： 解得， ∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3． （2）∵抛物线与x轴交于B（-1，0），C（3，0）， ∴BC=4，抛物线的对称轴为直线x=1， 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH=2， 由翻折得C′B=CB=4， 在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H===2， ∴点C′的坐标为（1，2），tan， ∴∠C′BH=60°， 由翻折得∠DBH=∠C′BH=30°， 在Rt△BHD中，DH=BH•tan∠DBH=2•tan30°=， ∴点D的坐标为（1，）． （3）取（2）中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′=BC，∠C′BC=60°， ∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下： ①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P． ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ=CP，BC=C′C，∠PCQ=∠C′CB=60°， ∴∠BCQ=∠C′CP， ∴△BCQ≌△C′CP（SAS）， ∴BQ=C′P． ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ=CQ， ∴C′P=CQ=CP， 又∵BC′=BC， ∴BP垂直平分CC′， 由翻折可知BD垂直平分CC′， ∴点D在直线BP上， 设直线BP的函数表达式为y=kx+b， 则，解得， ∴直线BP的函数表达式为y=． ②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方． ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CP=CQ，BC=CC′，∠CC′B=∠QCP=∠C′CB=60°． ∴∠BCP=∠C′CQ， ∴△BCP≌△C′CQ（SAS）， ∴∠CBP=∠CC′Q， ∵BC′=CC′，C′H⊥BC， ∴． ∴∠CBP=30°， 设BP与y轴相交于点E， 在Rt△BOE中，OE=OB•tan∠CBP=OB•tan30°=1×， ∴点E的坐标为（0，-）． 设直线BP的函数表达式为y=mx+n， 则，解得， ∴直线BP的函数表达式为y=-． 综上所述，直线BP的函数表达式为或． 【解析】

（1）根据待定系数法，把点A（-2，5），B（-1，0），C（3，0）的坐标代入y=ax2+bx+c得到方程组求解即可； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH=2，由翻折得C′B=CB=4，求出C′H的长，可得∠C′BH=60°，求出DH的长，则D坐标可求； （3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．*出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式． 本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的*质，全等三角形的判定和*质，等边三角形的判定与*质，锐角三角函数等知识，综合*较强，有一定的难度．

知识点：各地中考

题型：综合题