如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OC...
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如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC
(1)求线段OC的长度;
(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)OC=;(2)y=x﹣,抛物线解析式为y=x2﹣x+2;(3)点P存在,坐标为(,﹣).
【分析】
(1)令y=0,求出x的值,确定出A与B坐标,根据已知相似三角形得比例,求出OC的长即可;
(2)根据C为BM的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC,确定出C的坐标,利用待定系数法确定出直线BC解析式,把C坐标代入抛物线求出a的值,确定出二次函数解析式即可;
(3)过P作x轴的垂线,交BM于点Q,设出P与Q的横坐标为x,分别代入抛物线与直线解析式,表示出坐标轴,相减表示出PQ,四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大,三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半,构造为二次函数,利用二次函数*质求出此时P的坐标即可.
【详解】
解:(1)由题可知当y=0时,a(x﹣1)(x﹣3)=0,
解得:x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),
∴OA=1,OB=3
∵△OCA∽△OBC,
∴OC:OB=OA:OC,
∴OC2=OA•OB=3,
则OC=;
(2)∵C是BM的中点,即OC为斜边BM的中线,
∴OC=BC,
∴点C的横坐标为,
又OC=,点C在x轴下方,
∴C(,﹣),
设直线BM的解析式为y=kx+b,
把点B(3,0),C(,﹣)代入得: ,
解得:b=﹣,k=,
∴y=x﹣,
又∵点C(,﹣)在抛物线上,代入抛物线解析式,
解得:a=,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2;
(3)点P存在,
设点P坐标为(x,x2﹣x+2),过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q,
则Q(x,x﹣),
∴PQ=x﹣﹣(x2﹣x+2)=﹣x2+3x﹣3,
当△BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大,
S△BCP=PQ(3﹣x)+PQ(x﹣)=PQ=﹣x2+x﹣,
当x=﹣时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为(,﹣).
【点睛】
此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数图象与*质,待定系数法确定函数解析式,相似三角形的判定与*质,以及坐标与图形*质,熟练掌握各自的*质是解本题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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