如图,抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式;(...
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如图,抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)以点A为圆心,作与直线BC相切的⊙A,求⊙A的半径;
(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB,PC,请问:△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值的此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解答: 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),
∴把A、B两点坐标代入可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣;
(2)过A作AD⊥BC于点D,如图1,
∵⊙A与BC相切,
∴AD为⊙A的半径,
由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),
∴OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=,
在Rt△OBC中,由勾股定理可得BC===,
∵∠ADB=∠BOC=90°,∠ABD=∠CBO,
∴△ABD∽△CBO,
∴=,即=,解得AD=,
即⊙A的半径为;
(3)∵C(0,﹣),
∴可设直线BC解析式为y=kx﹣,
把B点坐标代入可求得k=,
∴直线BC的解析式为y=x﹣,
过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,如图2,
设P(x,﹣x2+2x﹣),则Q(x,x﹣),
∴PQ=(﹣x2+2x﹣)﹣(x﹣)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ(OE+BE)=PQ•OB=PQ=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,S△PBC有最大值,此时P点坐标为(,),
∴当P点坐标为(,)时,△PBC的面积有最大值.
知识点:各地中考
题型:综合题
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