如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.(1...
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如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
【回答】
(1)解析式为y=﹣x2+6x﹣5,对称轴:直线x=3,顶点坐标(3,4);(2)k=或k=;(3)当x=2时,SPMN最大,最大值为8,此时P(2,3);(4)①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大;②当<k<1时,直线l与图象L2有四个交点.
【解析】
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据线段的比,可得直线与x轴的交点,根据自变量与函数值的对应关系,可得*;(3)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PH,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的*质,可得*;(4)①根据函数图象的增减趋势,可得*;②根据函数图象的交点,可得直线经过D,B点,根据自变量与函数值的对应关系,可得相应的k值,可得*.
【详解】
(1)∵抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)
∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4,
∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5
对称轴:直线x=3
顶点坐标(3,4);
(2)∵直线l将线段AB分成1:3两部分,则l经过点(2,0)或(4,0),
∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5
∴k=或k=.
(3)如图1
,
设P(x,﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点,
解方程组,解得
或
不妨设M(0,﹣5)、N(4,3)
∴0<x<4
过P做PH⊥x轴交直线l于点H,
则H(x,2x﹣5),
PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x,
S△PMN=PH•xN
=(﹣x2+4x)×4
=﹣2(x﹣2)2+8
∵0<x<4
∴当x=2时,SPMN最大,最大值为8,此时P(2,3)
(4)如图2
,
A(1,0),B(5,0).由翻折,得D(3,﹣4),
①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大
②当y=kx﹣5过B点时,5k﹣5=0,解得k=1,
当y=kx﹣5与y=x2-6x+5相切时, ,解得 ,
直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点,即<k<1,
当<k<1,直线l与图象L2有四个交点.
【点睛】
本题考查了二次函数综合题,解题的关键是掌握待定系数法求解析式;利用线段的比例得出直线与x轴的交点;利用二次函数的*质解决问题.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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