如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作...

问题详情：

如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；

（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

【回答】

【考点】圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调*；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程．

【专题】综合题．

【分析】（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；

（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得kHE=﹣kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，从而可求直线EF的斜率；

法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；

（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值．

法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=，

∴，∴抛物线C的方程为y2=x．

（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴kHE=﹣kHF，

设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，

∴y1+y2=﹣2yH=﹣4．

∴．

法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，

∴直线HA的方程为，

联立方程组，得，

∵

∴，．

同理可得，，∴．

（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，

∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，

同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，

∴，，

∴直线AB的方程为，

令x=0，可得，

∵，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，

∴当y0=1时，tmin=﹣11．

法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．

以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①

⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②

①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．

当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），

∵，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，

∴当m=1时，tmin=﹣11．

【点评】本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合*较强．

知识点：导数及其应用

题型：综合题